Berikut adalah materi singkat tentang Matriks Eselon Baris yang bisa digunakan sebagai pengantar dalam Aljabar Linear:
Matriks Eselon Baris (Row Echelon Form)
Matriks eselon baris adalah bentuk matriks yang diperoleh dari matriks awal melalui operasi baris elementer dengan tujuan untuk menyederhanakan penyelesaian sistem persamaan linear. Matriks eselon baris digunakan dalam metode eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan menemukan solusi dari sistem tersebut.
Karakteristik Matriks Eselon Baris
Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris jika memenuhi syarat-syarat berikut:
- Setiap baris nol (baris yang semua elemennya nol) berada di bawah baris non-nol.
- Jika ada satu atau lebih baris yang hanya berisi nol, baris tersebut harus berada di bagian bawah matriks.
- Elemen pertama yang bukan nol dalam setiap baris non-nol (disebut juga pivot) terletak lebih ke kanan dibandingkan elemen pertama yang bukan nol di baris di atasnya.
- Pivot dari suatu baris harus lebih kanan dari pivot baris sebelumnya.
- Setiap elemen di bawah pivot adalah nol.
- Setelah menentukan pivot dalam setiap baris, seluruh elemen di bawah pivot harus dibuat menjadi nol menggunakan operasi baris elementer.
Contoh matriks eselon baris:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 5 & 6 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
Bentuk Eselon Baris Tereduksi (Reduced Row Echelon Form – RREF)
Selain bentuk eselon baris biasa, ada juga bentuk eselon baris tereduksi (RREF), yang memenuhi syarat tambahan berikut:
- Pivot dari setiap baris adalah 1.
- Setiap elemen utama (pivot) dari setiap baris harus dibuat menjadi 1.
- Setiap elemen di atas pivot juga harus bernilai nol.
- Semua elemen di atas pivot harus dibuat menjadi nol menggunakan operasi baris elementer.
Contoh matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
Operasi Baris Elementer
Untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon baris atau bentuk eselon baris tereduksi, kita menggunakan operasi baris elementer yang terdiri dari 3 jenis:
- Penukaran Baris: Tukar posisi dua baris dalam matriks.
- Misal: Tukar baris 1 dengan baris 2.
- Perkalian Baris dengan Skalar: Kalikan semua elemen dalam suatu baris dengan bilangan bukan nol.
- Misal: Kalikan baris 1 dengan 1/2.
- Penjumlahan atau Pengurangan Baris: Tambahkan atau kurangkan suatu baris dengan kelipatan skalar dari baris lain.
- Misal: Tambahkan baris 1 dengan 3 kali baris 2.
Langkah-Langkah Mengubah Matriks ke Bentuk Eselon Baris
- Identifikasi pivot di baris pertama. Pastikan elemen pertama di baris pertama adalah bukan nol (pivot). Jika tidak, tukar baris.
- Buat nol elemen-elemen di bawah pivot. Gunakan operasi baris elementer untuk membuat seluruh elemen di bawah pivot menjadi nol.
- Pindah ke baris berikutnya. Ulangi langkah-langkah di atas untuk baris kedua, dengan memastikan bahwa pivot berada lebih kanan dari pivot sebelumnya.
- Lanjutkan proses hingga semua baris memiliki pivot.
Aplikasi Matriks Eselon Baris
Matriks eselon baris sangat penting dalam menyelesaikan sistem persamaan linear karena bentuk ini mempermudah dalam melakukan substitusi mundur untuk menemukan solusi. Selain itu, bentuk eselon baris juga digunakan untuk menentukan:
- Konsistensi sistem persamaan linear, apakah sistem memiliki solusi tunggal, tak hingga solusi, atau tidak ada solusi.
- Rank suatu matriks, yang merupakan jumlah baris non-nol dalam bentuk eselon baris dari matriks tersebut.
Itulah pengantar tentang Matriks Eselon Baris beserta karakteristik dan langkah-langkah mengubah matriks menjadi bentuk eselon. Materi ini cocok digunakan dalam kelas Aljabar Linear dasar.
LATIHAN SOAL
Berikut adalah beberapa soal latihan tentang matriks eselon baris yang bisa digunakan untuk menguji pemahaman siswa dalam Aljabar Linear:
Soal Latihan Matriks Eselon Baris
Soal 1:
Ubah matriks berikut ke dalam bentuk eselon baris:
\[
\begin{pmatrix}
2 & 4 & -2 & 2 \\
4 & 9 & -3 & 8 \\
-2 & -5 & 3 & -6
\end{pmatrix}
\]
Soal 2:
Bentuk eselon baris dari sebuah matriks adalah sebagai berikut:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & -4 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
(a) Tentukan solusi sistem persamaan linear yang terkait dengan matriks ini.
(b) Apakah sistem tersebut memiliki solusi tunggal, banyak solusi, atau tidak ada solusi?
Soal 3:
Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks berikut:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 & 9 \\
1 & 1 & -1 & 1 \\
3 & 11 & 5 & 35
\end{pmatrix}
\]
Soal 4:
Gunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks berikut menjadi bentuk eselon baris:
\[
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 4 \\
1 & 0 & 1 \\
3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\]
Tentukan pula rank dari matriks tersebut.
Soal 5:
Diberikan matriks berikut:
\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & 8 \\
-3 & -1 & 2 & -11 \\
-2 & 1 & 2 & -3
\end{pmatrix}
\]
(a) Gunakan metode eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang diwakili oleh matriks ini.
(b) Tentukan solusi dari sistem tersebut.
Soal 6:
Ubah matriks berikut ke dalam bentuk eselon baris tereduksi:
\[
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & -1 \\
1 & 3 & 2 & 3 \\
2 & 7 & 3 & 8
\end{pmatrix}
\]
Soal 7:
Diberikan sistem persamaan linear berikut:
\[
\begin{aligned}
2x_1 + 4x_2 – 2x_3 &= 2 \\
4x_1 + 9x_2 – 3x_3 &= 8 \\
-2x_1 – 5x_2 + 3x_3 &= -6
\end{aligned}
\]
Tuliskan sistem persamaan ini dalam bentuk matriks, kemudian gunakan operasi baris elementer untuk menyelesaikan sistem tersebut.
Soal 8:
Tentukan bentuk eselon baris dari matriks berikut dan tentukan apakah sistem tersebut memiliki solusi unik, tak hingga solusi, atau tidak ada solusi:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 4 \\
2 & 4 & -2 & 8 \\
3 & 6 & -3 & 12
\end{pmatrix}
\]