Materi Pengayaan: Logika Matematika
1. Pernyataan dan Jenisnya
- Pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya sekaligus.
Contoh: - “2 adalah bilangan prima” (Benar).
- “5 + 3 = 10” (Salah).
- Kalimat bukan pernyataan:
- “Apakah kamu sudah makan?”
- “Kerjakan tugas itu!”
2. Negasi \(¬p\)
- Negasi dari pernyataan \(p\) adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran kebalikannya.
- Jika \(p\) benar, maka \(¬p\) salah, dan sebaliknya.
Contoh: - \(p\): “Hari ini hujan.”
Negasi: “Hari ini tidak hujan.”
3. Konjungsi \(p ∧ q\)
- Konjungsi adalah gabungan dua pernyataan dengan kata “dan”. Konjungsi benar jika kedua pernyataan benar.
Tabel Kebenaran:
Contoh:
\(p\): “Hari ini hujan.”
\(q\): “Besok ada ujian.”
Konjungsi: “Hari ini hujan dan besok ada ujian.”
4. Disjungsi \(p ∨ q\)
- Disjungsi adalah gabungan dua pernyataan dengan kata “atau”. Disjungsi salah hanya jika kedua pernyataan salah.
- Contoh:
(p): “Saya akan makan.”
(q): “Saya akan tidur.”
Disjungsi: “Saya akan makan atau tidur.”
5. Implikasi \(p → q\)
- Implikasi adalah pernyataan “Jika \(p\), maka \(q\).” Implikasi salah hanya jika p benar dan q salah.
Contoh: - \(p\): “Hujan turun.”
- \(q\): “Jalanan basah.”
Implikasi: “Jika hujan turun, maka jalanan basah.”
6. Biimplikasi \(p ↔ q\)
- Biimplikasi adalah pernyataan “\(p\) jika dan hanya jika \(q\).” Nilai benar hanya jika keduanya sama.
Contoh: - \(p\): “Sisi-sisi sama panjang.”
- \(q\): “Bentuknya adalah bujur sangkar.”
Biimplikasi: “Sisi-sisi sama panjang jika dan hanya jika bentuknya bujur sangkar.”
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1
Tentukan negasi dari pernyataan berikut:
- \(p\): “Hari ini cerah.”
Jawaban:
Negasi dari \(p\) adalah: “Hari ini tidak cerah.”
Soal 2
Buatlah konjungsi dan disjungsi dari pernyataan:
- (p): “Saya belajar.”
- (q): “Saya lulus ujian.”
Jawaban:
- Konjungsi: “Saya belajar dan saya lulus ujian.”
- Disjungsi: “Saya belajar atau saya lulus ujian.”
Soal 3
Buatlah implikasi dan biimplikasi dari pernyataan:
- (p): “Hari ini hujan.”
- (q): “Jalanan basah.”
Jawaban:
- Implikasi: “Jika hari ini hujan, maka jalanan basah.”
- Biimplikasi: “Hari ini hujan jika dan hanya jika jalanan basah.”
Soal 4
Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan (p \lor (¬q)). Misalkan:
- (p): Benar
- (q): Salah
Jawaban:
- \(¬q\): Benar (karena negasi dari salah adalah benar).
- \(p \lor (¬q)\) = Benar ∨ Benar = Benar
Soal 5
Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut:
- (p): “Saya belajar.” (Benar)
- (q): “Saya lulus ujian.” (Salah)
Implikasi: “Jika saya belajar, maka saya lulus ujian.”
Jawaban:
Implikasi salah karena (p) benar dan (q) salah.
Dengan memahami konsep logika matematika ini, siswa akan dapat menganalisis dan menyusun argumen logis serta memahami hubungan antara pernyataan-pernyataan matematika.