Himpunan Terbilang, Terhitung, dan Cardinal – Seri Tutorial Online Pengantar Matematika Universitas Terbuka

---

1. Himpunan Terbilang

• Definisi: Himpunan terbilang adalah himpunan yang elemen-elemennya dapat dihitung satu per satu. Himpunan ini memiliki elemen-elemen yang dapat diberi urutan (biasanya melalui bilangan bulat positif atau negatif).
• Contoh Himpunan Terbilang:
  • Himpunan bilangan asli, \( A = \{1, 2, 3, 4, \dots\} \).
  • Himpunan bilangan bulat, \( B = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \).
  Contoh Soal:

1. Tentukan apakah himpunan \( X = \{2, 4, 6, 8, 10\} \) merupakan himpunan terbilang.
   • Jawaban: Ya, \( X \) merupakan himpunan terbilang karena setiap elemen dapat dihitung satu per satu.
2. Apakah himpunan semua bilangan ganjil positif merupakan himpunan terbilang?
   • Jawaban: Ya, himpunan bilangan ganjil positif adalah himpunan terbilang karena memiliki elemen yang bisa diurutkan, yaitu \( \{1, 3, 5, 7, \dots\} \).

2. Bilangan Kardinal

• Definisi: Bilangan kardinal adalah angka yang digunakan untuk menyatakan banyaknya elemen dalam suatu himpunan. Dalam konteks ini, kardinal dari suatu himpunan terbilang adalah jumlah anggota yang ada di dalam himpunan tersebut.
• Notasi: Kardinal dari himpunan \( A \) biasanya ditulis sebagai \( |A| \).
• Contoh Bilangan Kardinal:
  • Jika \( A = \{1, 2, 3\} \), maka \( |A| = 3 \) karena terdapat 3 elemen dalam himpunan \( A \).
  • Untuk himpunan tak hingga seperti bilangan asli, kardinalnya adalah tak hingga \(( \infty )\).
  Contoh Soal:

1. Tentukan bilangan kardinal dari himpunan \( A = {5, 10, 15, 20, 25} \).
   • Jawaban: \( |A| = 5 \), karena terdapat 5 elemen dalam himpunan \( A \).
2. Berapa kardinal dari himpunan bilangan prima kurang dari 10?
   • Jawaban: Bilangan prima kurang dari 10 adalah \( \{2, 3, 5, 7\} \), sehingga \( |A| = 4 \).

3. Himpunan Terhitung

• Definisi: Himpunan terhitung adalah himpunan yang dapat dinyatakan atau dicocokkan satu-satu dengan himpunan bilangan asli. Jadi, himpunan terhitung bisa berupa himpunan terhingga atau himpunan tak hingga yang elemennya bisa diurutkan dan dicocokkan dengan bilangan asli.
• Contoh Himpunan Terhitung:
  • Himpunan bilangan asli \( \{1, 2, 3, \dots\} \).
  • Himpunan bilangan bulat \( \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \).
  Contoh Soal:

1. Tentukan apakah himpunan bilangan genap positif merupakan himpunan terhitung.
   • Jawaban: Ya, himpunan bilangan genap positif \(( \{2, 4, 6, 8, \dots\} )\) adalah himpunan terhitung karena bisa dicocokkan satu-satu dengan himpunan bilangan asli.
2. Apakah himpunan bilangan real antara 0 dan 1 merupakan himpunan terhitung?
   • Jawaban: Tidak, himpunan bilangan real antara 0 dan 1 tidak terhitung karena tidak bisa dicocokkan satu-satu dengan bilangan asli. Ini adalah himpunan tak hingga yang tidak terhitung.

---