Baik, kita akan membahas topik tentang fungsi dalam matematika secara bertahap. Fokus kita adalah pada konsep-konsep dasar fungsi serta cara pengoperasiannya. Saya akan menguraikan materi ini dalam beberapa bagian sesuai outline yang kamu berikan:
1. Pengertian dan Konsep Dasar Fungsi
- Definisi Fungsi: Fungsi adalah relasi yang menghubungkan setiap elemen di himpunan awal (domain) ke tepat satu elemen di himpunan tujuan (range atau kodomain).
- Notasi Fungsi: Biasanya, fungsi dinyatakan sebagai \( f(x) \), di mana \( f \) adalah nama fungsi dan \( x \) adalah variabel input.
- Contoh Fungsi Sederhana: Misalnya, \( f(x) = 2x + 3 \), di mana untuk setiap nilai \( x \), kita bisa mendapatkan nilai \( f(x) \).
2. Mengoperasikan Fungsi-Fungsi Sederhana
- Evaluasi Fungsi: Kita bisa mencari nilai fungsi dengan mengganti variabelnya. Misalnya, jika \( f(x) = 3x – 5 \), maka \( f(2) = 3(2) – 5 = 1 \).
- Operasi Fungsi:
- Penjumlahan: \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
- Pengurangan: \((f – g)(x) = f(x) – g(x)\)
- Perkalian: \((f \times g)(x) = f(x) \times g(x)\)
- Pembagian: \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0\)
3. Menentukan Domain Hasil Operasi Fungsi
- Domain adalah himpunan semua nilai \( x \) yang memungkinkan sehingga fungsi terdefinisi.
- Untuk fungsi-fungsi sederhana seperti \( f(x) = x^2 ) atau ( f(x) = \frac{1}{x} \), kita bisa menentukan domain dengan melihat syarat-syarat agar fungsi tetap valid, misalnya menghindari pembagian oleh nol.
- Contoh: Untuk \( f(x) = \frac{1}{x – 2} \), domainnya adalah semua \( x \) kecuali \( x = 2 \), karena jika \( x = 2 \), maka penyebut menjadi nol.
4. Menentukan Fungsi Satu-Satu, Pada, dan Satu-Satu dan Pada
- Fungsi Satu-Satu (Injektif): Fungsi yang setiap elemen di domain berpasangan dengan elemen unik di kodomain. Artinya, \( f(x_1) = f(x_2) \) hanya jika \( x_1 = x_2 \).
- Fungsi Pada (Surjektif): Fungsi yang setiap elemen di kodomain memiliki pasangan di domain.
- Fungsi Satu-Satu dan Pada (Bijektif): Fungsi yang merupakan satu-satu sekaligus pada.
5. Menentukan Fungsi Ganjil atau Genap
- Fungsi Genap: Fungsi \( f(x) \) dikatakan genap jika \( f(-x) = f(x) \) untuk semua \( x \) di domain.
- Fungsi Ganjil: Fungsi \( f(x) \) dikatakan ganjil jika \( f(-x) = -f(x) \) untuk semua \( x \) di domain.
- Contoh:
- Fungsi genap: \( f(x) = x^2 ) karena ( f(-x) = (-x)^2 = x^2 \).
- Fungsi ganjil: \( g(x) = x^3 ) karena ( g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x) \).
6. Menentukan Fungsi Harga Mutlak
- Definisi: Fungsi harga mutlak \( f(x) = |x| \) memberikan nilai absolut dari \( x \).
- Sifat: Fungsi harga mutlak selalu bernilai non-negatif, yaitu \( f(x) \geq 0 \) untuk semua \( x \).
- Contoh: Jika \( f(x) = |x – 2| \), maka untuk \( x = 3 \), \( f(3) = |3 – 2| = 1 \); dan untuk \( x = 1 \), \( f(1) = |1 – 2| = 1 \).
7. Fungsi Komposisi
- Pengertian: Komposisi dari dua fungsi \( f \) dan \( g \) adalah fungsi yang dihasilkan dengan menerapkan fungsi \( g \) terlebih dahulu, kemudian fungsi \( f \) pada hasilnya. Ditulis sebagai \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \).
- Contoh: Jika \( f(x) = 2x \) dan \( g(x) = x + 1 \), maka \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2 \).
8. Membentuk Fungsi Komposisi dari Dua Fungsi
- Langkah-langkah Membuat Komposisi:
- Tentukan \( g(x) \) dan \( f(x) \).
- Masukkan \( g(x) \) ke dalam \( f(x) \) untuk mendapatkan \( f(g(x)) \).
- Contoh: Misalkan \( f(x) = x^2 \) dan \( g(x) = x + 3 \). Maka \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (x + 3)^2 \).
9. Menentukan Domain Fungsi Komposisi
- Domain Komposisi: Untuk menentukan domain komposisi \( f(g(x)) \), kita harus memastikan bahwa domain dari \( g(x) \) dan \( f(x) \) memenuhi semua kondisi untuk hasil yang valid.
- Contoh: Jika \( f(x) = \frac{1}{x} \) dan \( g(x) = x + 2 \), maka untuk \( (f \circ g)(x) = f(x + 2) = \frac{1}{x + 2} \), domainnya adalah semua \( x \neq -2 \).
10. Fungsi Invers
- Pengertian: Fungsi invers dari \( f(x) \), dilambangkan dengan \( f^{-1}(x) \), adalah fungsi yang mengembalikan \( x \) dari hasil \( f(x) \). Dengan kata lain, \( f(f^{-1}(x)) = x \) dan \( f^{-1}(f(x)) = x \).
- Syarat: Hanya fungsi bijektif yang memiliki fungsi invers.
- Contoh: Jika \( f(x) = 2x + 3 \), maka inversnya adalah \( f^{-1}(x) = \frac{x – 3}{2} \).