MATERI PENGAYAAN: HIMPUNAN BILANGAN DAN OPERASINYA
1. Bilangan Prima dan Bilangan Komposit
- Bilangan Prima: Bilangan asli yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri.
Contoh: 2, 3, 5, 7, 11, dst. - Catatan: 2 adalah satu-satunya bilangan prima genap.
- Bilangan Komposit: Bilangan asli yang memiliki lebih dari dua faktor.
Contoh: 4, 6, 8, 9, 10, dst.
2. Bilangan Asli dan Operasinya
- Bilangan Asli \(ℕ\): Bilangan positif tanpa desimal, yaitu {1, 2, 3, 4, …}.
- Operasi pada Bilangan Asli:
- Penjumlahan: \(2 + 3 = 5\)
- Perkalian: \(4 \times 5 = 20\)
Catatan: Penjumlahan dan perkalian bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Namun, pengurangan dan pembagian belum tentu.
3. Bilangan Nol (0)
- Nol bukan bilangan asli, tetapi bagian dari bilangan cacah.
- Nol bersifat sebagai identitas penjumlahan:
\(a + 0 = a\) dan \(a – 0 = a\). - Pembagian dengan 0 tidak terdefinisi. Contoh: \(5 \div 0\) tidak valid.
4. Bilangan Bulat (ℤ) dan Operasinya
- Bilangan Bulat (ℤ): Termasuk bilangan positif, nol, dan negatif:
ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. - Operasi pada Bilangan Bulat:
- Penjumlahan: \((-3) + 5 = 2\)
- Pengurangan: \(2 – 7 = -5\)
- Perkalian: \((-2) \times 3 = -6\)
- Pembagian: \((-6) \div 2 = -3\)
5. Bilangan Rasional (ℚ) dan Operasinya
- Bilangan Rasional: Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai \(\frac{a}{b}\) dengan \(a, b \in ℤ\) dan \(b \neq 0\).
Contoh: \(\frac{3}{4}, -2, 0.5\). - Operasi pada Bilangan Rasional:
- Penjumlahan: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\)
- Pengurangan: \(0.5 – \frac{1}{4} = 0.25\)
- Perkalian: \(2 \times \frac{3}{5} = \frac{6}{5}\)
- Pembagian: \(\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)
6. Bilangan Irasional dan Operasinya
- Bilangan Irasional: Bilangan yang tidak bisa dinyatakan sebagai pecahan rasional dan memiliki desimal tak terhingga tanpa pola berulang.
Contoh: √2, π. - Operasi dengan bilangan irasional akan menghasilkan bilangan irasional, tetapi bisa juga berupa bilangan rasional (contoh: \(√2 \times √2 = 2)\).
7. Bilangan Real (ℝ) dan Operasinya
- Bilangan Real: Gabungan dari bilangan rasional dan irasional.
Contoh: -3, 0.5, √5, π. - Operasi pada Bilangan Real:
- Penjumlahan: (√2 + 3 = 3 + √2)
- Perkalian: \(π \times 2 = 2π\)
8. Bilangan Imajiner (i)
- Bilangan Imajiner: Bilangan yang berbentuk (ai), dengan \(i = √{-1}\).
Contoh: (2i, -3i). - Sifat bilangan imajiner:
\[i^2 = -1\]
9. Bilangan Kompleks (ℂ)
- Bilangan Kompleks: Gabungan antara bilangan real dan bilangan imajiner, dalam bentuk (a + bi) dengan \(a, b \in ℝ\).
Contoh: (3 + 4i), (-2 + i). - Operasi Bilangan Kompleks:
- Penjumlahan: ((2 + 3i) + (1 + 4i) = 3 + 7i)
- Perkalian: \((2 + 3i) \times (1 + 2i) = -4 + 7i\)
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
Soal 1
Tentukan bilangan prima dan komposit dari himpunan \{2, 4, 5, 8, 11\}.
Jawaban:
- Bilangan Prima: 2, 5, 11
- Bilangan Komposit: 4, 8
Soal 2
Hitung hasil dari operasi berikut:
- (2 + (-5))
- \(7 \times (-3)\)
- \(√2 \times √2\)
Jawaban:
- (2 + (-5) = -3)
- \(7 \times (-3) = -21\)
- \(√2 \times √2 = 2\)
Soal 3
Nyatakan bilangan \(0.75\) sebagai bilangan rasional.
Jawaban:
\(0.75 = \frac{3}{4}\)
Soal 4
Sederhanakan hasil perkalian berikut:
\((2 + i) \times (3 – i)\)
Jawaban:
\[(2 + i) \times (3 – i) = 6 – 2i + 3i – i^2 = 6 + i + 1 = 7 + i\]
Soal 5
Tentukan himpunan bilangan dari angka berikut:
- \(π\)
- \(\frac{5}{3}\)
- \(-4\)
Jawaban:
- \(π\) adalah bilangan irasional dan juga bilangan real.
- \(\frac{5}{3}\) adalah bilangan rasional.
- \(-4\) adalah bilangan bulat dan bilangan real.
Dengan memahami materi ini, siswa akan lebih siap dalam mengidentifikasi berbagai jenis bilangan dan melakukan operasi yang relevan dengan setiap jenis bilangan.